Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.

При построении базовых квадратурных формул использовалось число узлов от одного до трех, распределенных равномерно на отрезке .

Для повышения точности квадратурных формул введем на более густую равномерную сетку с мелким шагом h:

и вычислим подынтегральную функцию в полученных узлах

.

Используя полученное разбиение отрезка, запишем интеграл

.

Дальнейший результат будет зависеть от порядка базовой квадратурной формулы, используемой на i-ом интервале. Например, для приближения порядка (формула трапеций) получим:

. (13)

Формулу (13) можно назвать «обобщенной формулой трапеций».

Определение.Квадратурная формула n-го порядка, построенная на равномерной сетке с (N+1) узлом, носит название «формула Ньютона-Котеса порядка n с (N+1) узлом».

Т.о. формула (13) есть формула Ньютона-Котеса порядка n=1 c (N+1) узлом. Выведем формулу для погрешности данной квадратурной формулы.

Теорема 2.1.Пусть и - равномерная сетка узлов с шагом , и , где определяется формулой (11). Тогда для погрешности обобщенной формулы трапеций справедлива формула:

(14)

Обозначим погрешность базовой формулы трапеций на j-м интервале

, где , .

Просуммируем все j-ые погрешности по N интервалам:

.

Т.к. по условию , то непрерывна на . Отсюда следует, что функция так же непрерывна на , причем из условия следует, что .

Далее по теореме о промежуточном значении непрерывной на отрезке функции получаем, что найдется такая точка , что .

Отсюда для погрешности формулы Ньютона-Котеса порядка 1 получаем:

. (2)

В таком виде формула (14) демонстрирует степень зависимости погрешности от числа интервалов N.

Пусть . Построим формулу Ньютона-Котеса второго порядка, обобщающую квадратурную формулу Симпсона. Для этого необходимо на распределить нечетное число узлов:

. Диаграмма узлов изображена

на рисунке:

На каждой последовательной тройке узлов используем базовую формулу Симпсона.

Обозначим

Имеем:

. (15)

Оценим погрешность обобщенной формулы Симпсона (15).

Теорема 2.2.Пусть и -равномерная сетка узлов с шагом на . Тогда для погрешности обобщенной формулы Симпсона справедлива формула:

. (16)

Теорема доказывается аналогично теореме 2.1, путем суммирования погрешностей на базовых отрезках

и использования теоремы Коши о промежуточном значении непрерывной функции на отрезке.

  • Тематика рефератов
  • ЛОРЕНС СТЕРН И ЕГО ВРЕМЯ
  • Двенадцать исцеляющих медитаций
  • Структурные уровни организации материи с точки зрения химии).
  • Дорога в будущее
  • Телосложение
  • Коррекционно-развивающие задачи. 1. Продолжать учить ребенка решать логические задачи
  • Международное положение Киевской Руси.
  • Февраля. Мы еще несколько раз возвращались к образу реки
  • КЛЮЧ К ТЕСТУ-ОПРОСНИКУ УРОВНЯ СУБЬЕКТИВНОГО КОНТРОЛЯ
  • ЛЕКЦИЯ 8. ПОНЯТИЕ МНОГОМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
  • А не кровоточит?
  • Offline map Google map
  • Модуль 1
  • Истинные приращения функции и аргумента
  • Смерть в пруду
  • Глава 11. Ha следующий вечер я стоял на пирсе, любуясь серебристой лунной дорожкой
  • Match English words and Russian equivalents.
  • У́ТРЕНЯ. Шестопса́лмие:
  • Комбинированные болевые воздействия на кисти рук в Дзю-дзюцу