Конечный предел функции на бесконечности

Предел функции

Квантор всеобщности: – любой, каждый, всякий.

Квантор существования: – существует, найдется.

Конечный предел функции в точке


Конечный предел функции на бесконечности


2.

или


1. Теоремы о пределах.

Пусть существуют конечные пределы и . Тогда справедливы следующие утверждения:

2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Бесконечно малой функцией при называется функция , предел которой равен нулю при : .

Если значения функции f(x) неограниченно возрастают по абсолютной величине при , то такую функцию называют бесконечно большой при . Предел этой функции обозначают знаком бесконечности : .

Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Если , то .

Если , то

Задача. Вычислить пределы функции при

Решение.В задаче следует найти предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя дроби, подставив в них предельное значение аргумента.

а) .

Здесь применима теорема о пределе частного.

б) .

При подстановке в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что их значения равны нулю, поэтому теорема о пределе частного здесь не применима. В данном случае говорят, что имеется неопределенность вида .

Неопределенность вида при может быть раскрыта сокращением дроби на множитель вида (х–х0), который обращает числитель и знаменатель дроби в нуль, в данном случае на (х+4). Поэтому, следует разложить на множители числитель и знаменатель дроби (п.2 и п.3 прил.1).

3х2+10х – 8 = 0; 4х2+15х– 4 = 0;
D = D =
3х2+10х–8 = 3(х+4)(х–2/3) = 4х2+15х – 4 = 4(х+4)(х–1/4 ) =
= (х+4)(3х–2). = (х+4)(4х–1).

Таким образом,

в)

Здесь применима теорема о пределе частного, так как существуют конечные пределы числителя и знаменателя, и предел знаменателя не равен нулю.

г)

Здесь использована теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.

д) .

Пределы числителя и знаменателя дроби равны . В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида «бесконечность на бесконечность». Теорема о пределе частного здесь не применима.

Чтобы раскрыть неопределенность вида при , каждый член числителя и знаменателя дроби делят на x в наивысшей степени (в нашем примере на х2), отчего величина дроби не изменится, но исчезнет неопределенность.

так как

(по теореме о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций).

Замечание. Полезно запомнить, что при предел отношения многочленов c одинаковыми наивысшими степенями равен отношению коэффициентов при этих степенях.

В нашем примере, коэффициенты при наивысшей степени х2 многочленов равны 3 и 4, поэтому и предел дроби равен .

Ответы.

Замечательные пределы,

  • С. Ковалрр
  • Гомик, нормальный или что-то среднее?
  • кафедра строительных материалов Московского инженерно-строительного института им. В. В. Куйбышева (зав. кафедрой — д-р техн. наук, проф. Г. И. Горчаков) 3 страница
  • Посвящается Дэйву Тейлору. 3 страница
  • Методы компенсации рассеяния
  • Классицизм
  • Занятие 5
  • Первые философы техники
  • ДОКТОР БОБ И СЛАВНЫЕ ВЕТЕРАНЫ
  • СВЕЖЕЯРКИЙ водный тир
  • Память 18 сентября
  • Противопожарная защита наливных судов
  • Пятница: Закон ненрикязанности
  • Омская эвакуация
  • Кармические задачи
  • Основные подходы и методы оценки объектов недвижимости
  • Евгений Валерьевич Гришковец 7 страница
  • МУЗЫКА НА РЕПЕТИЦИЯХ
  • Совершен в нужное время 1 страница
  • Ладони Инь-Ян